CHSH-Ungliichig

Nutzigschätzig: Zwei Minute uf eme Heron r2-Prozässor (HIIWIS: Das isch nume e Schätzig. Eui Laufzyt chönnt variiere.)

Hingergrund

I däm Tutorial füehred mer es Experiment uf eme Quantecomputer uus, zum d'Verletzig vo de CHSH-Ungliichig mit em Estimator-Primitiv z'zeige.

D'CHSH-Ungliichig, benannt nach de Autoore Clauser, Horne, Shimony und Holt, wird bruucht, zum Bells Theorem (1969) experimentell z'bewiise. Das Theorem sait uus, dass lokali Theoriie mit versteckte Variable nöd alli Konsequenze vo de Verschränkig i de Quantemechanik chönd erkläre. D'Verletzig vo de CHSH-Ungliichig wird bruucht, zum z'zeige, dass d'Quantemechanik mit lokale Theoriie mit versteckte Variable nöd vereinbar isch. Das isch es wichtigs Experiment für s'Verständnis vo de Grundlage vo de Quantemechanik.

De Nobelpriis für Physik 2022 isch a Alain Aspect, John Clauser und Anton Zeilinger vergää worde, under anderem für ihri Pionierarbeit i de Quanteinformationswüsseschaft und bsunders für ihri Experimänt mit verschränkte Photone, wo d'Verletzig vo de Bellsche Ungliichige demonstriert händ.

Aaforderige

Bevor dir mit däm Tutorial aafanged, stellet sicher, dass dir Folgendes installiert händ:

• Qiskit SDK v1.0 oder neuer, mit visualization-Understützig
• Qiskit Runtime (pip install qiskit-ibm-runtime) v0.22 oder neuer

Iirichtig

# General
import numpy as np

# Qiskit imports
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit import Parameter
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

# Qiskit Runtime imports
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2 as Estimator

# Plotting routines
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as tck

Schritt 1: Klassischi Iigabe uf es Quanteproblem abbildä

Für das Experiment erstelled mer es verschränkts Paar, wo mer jedes Qubit uf zwei verschideni Base mässed. Mer bezäichned d'Base für s'erscht Qubit mit $A$ und $a$ und d'Base für s'zweit Qubit mit $B$ und $b$. Das erlaubt öis, d'CHSH-Grössi $S_1$ z'berächne:

$$S_1 = A(B-b) + a(B+b).$$

Jedi Observable isch entweder $+1$ oder $-1$. Klar isch, dass äine vo de Terme $B\pm b$ gliich $0$ sii muess und de ander $\pm 2$ sii muess. Darum isch $S_1 = \pm 2$. De Durschnittswärt vo $S_1$ muess d'Ungliichig erfülle:

$$|\langle S_1 \rangle|\leq 2.$$

Wenn mer $S_1$ i Bezug uf $A$, $a$, $B$ und $b$ uswigglet, chömed mer uf:

$$|\langle S_1 \rangle| = |\langle AB \rangle - \langle Ab \rangle + \langle aB \rangle + \langle ab \rangle| \leq 2$$

Dir chönnt e wyteri CHSH-Grössi $S_2$ definiere:

$$S_2 = A(B+b) - a(B-b),$$

Das füehrt zu enere wyytere Ungliichig:

$$|\langle S_2 \rangle| = |\langle AB \rangle + \langle Ab \rangle - \langle aB \rangle + \langle ab \rangle| \leq 2$$

Wenn d'Quantemechanik dur lokali Theoriie mit versteckte Variable cha beschribe wärde, müend d'vorige Ungliichige wohr sii. Abelewi däm Tutorial aber gzäigt wird, chönd die Ungliichige uf eme Quantecomputer verletzt wärde. Darum isch d'Quantemechanik nöd mit lokale Theoriie mit versteckte Variable vereinbar. Falls dir meh Theoriie lerned wänd, luäged euch Entanglement in Action mit em John Watrous aa. Mer erstelled es verschränkts Paar zwüschet zwei Qubits i eme Quantecomputer, indem mer de Bell-Zuestand $|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$ erzüüged. Mit em Estimator-Primitiv chönnt dir diräkt di nötige Erwartungswärt ($\langle AB \rangle, \langle Ab \rangle, \langle aB \rangle$ und $\langle ab \rangle$) überchoo, zum d'Erwartungswärt vo de beide CHSH-Grössene $\langle S_1\rangle$ und $\langle S_2\rangle$ z'berächne. Vor de Iifüehrig vom Estimator-Primitiv hätt dir d'Erwartungswärt us de Messresultat müesse konstruiere.

Mer mässed s'zweit Qubit i de $Z$- und $X$-Base. S'erscht Qubit wird au i orthogonale Base gmässe, aber mit eme Winkel bezüglich vom zweite Qubit, wo mer zwüschet $0$ und $2\pi$ variiere wärded. Wie dir gsehnd, macht s'Estimator-Primitiv s'Usfüehre vo parametrisierte Schaltchreis sehr eifach. Anstatt e Reihe vo CHSH-Schaltchreis z'erstelle, müend dir nume eine CHSH-Schaltchreis mit eme Parameter erstelle, wo de Mässwinkel aagit, und e Reihe vo Phasewärt für de Parameter.

Schlussändlich wärded mer d'Resultat analysiere und gäge de Mässwinkel ufträge. Dir wärded gseh, dass es für en bestimmte Bereich vo Mässwinkel d'Erwartungswärt vo de CHSH-Grössene $|\langle S_1\rangle| > 2$ oder $|\langle S_2\rangle| > 2$ sind, was d'Verletzig vo de CHSH-Ungliichig demonstriert.

# To run on hardware, select the backend with the fewest number of jobs in the queue
service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=127
)
backend.name

'ibm_kingston'

E parametrisierte CHSH-Schaltchreis erstelle

Zerscht schriibemer de Schaltchreis mit em Parameter $\theta$, wo mer theta nänned. S'Estimator-Primitiv cha de Schaltchreisbou und d'Usgabenaanalyse riisig veryfache, indem's diräkt Erwartungswärt vo Observable lieferet. Vieli intressanti Problem, bsunders für churzfristi Aawändige uf vrauschte Systeem, chönd i Form vo Erwartungswärt formuliert wärde. S'Estimator (V2)-Primitiv cha automatisch d'Mässbasis basierend uf de bereitgstellte Observable ändere.

theta = Parameter("$\\theta$")

chsh_circuit = QuantumCircuit(2)
chsh_circuit.h(0)
chsh_circuit.cx(0, 1)
chsh_circuit.ry(theta, 0)
chsh_circuit.draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

E Liste vo Phasewärt erstelle, wo schpöter zuegwise wärded

Nachdem dir de parametrisiert CHSH-Schaltchreis erstellt händ, erstellt dir e Liste vo Phasewärt, wo em Schaltchreis im nächste Schritt zuegwise wärded. Dir chönnt de folgende Code bruuche, zum e Liste vo 21 Phasewärt im Bereich vo $0$ bis $2 \pi$ mit gliichem Abstand z'erstelle, also $0$, $0.1 \pi$, $0.2 \pi$, ..., $1.9 \pi$, $2 \pi$.

number_of_phases = 21
phases = np.linspace(0, 2 * np.pi, number_of_phases)
# Phases need to be expressed as list of lists in order to work
individual_phases = [[ph] for ph in phases]

Observable

Jetzt bruuched mer Observable, us dänä mer d'Erwartungswärt chönd berächne. I öisem Fall betrachted mer orthogonali Base für jedes Qubit, wobii d'parametrisiert $Y$-Rotation für s'erscht Qubit d'Mässbasis beinaah kontinuierlich i Bezug uf d'Basis vom zweite Qubit variiert. Mer wähled darum d'Observable $ZZ$, $ZX$, $XZ$ und $XX$.

# <CHSH1> = <AB> - <Ab> + <aB> + <ab> -> <ZZ> - <ZX> + <XZ> + <XX>
observable1 = SparsePauliOp.from_list(
    [("ZZ", 1), ("ZX", -1), ("XZ", 1), ("XX", 1)]
)

# <CHSH2> = <AB> + <Ab> - <aB> + <ab> -> <ZZ> + <ZX> - <XZ> + <XX>
observable2 = SparsePauliOp.from_list(
    [("ZZ", 1), ("ZX", 1), ("XZ", -1), ("XX", 1)]
)

Schritt 2: Problem für d'Usfüehrig uf Quantehardware optimiere

Zum d'Gsamtusfüehrigszyt vom Job z'reduziere, akzeptiere V2-Primitiv nume Schaltchreis und Observable, wo de vom Ziilsystem understützte Aawysige und de Konnektivität entspräched (bezäichnet als Instruction Set Architecture (ISA)-Schaltchreis und -Observable).

ISA-Schaltchreis

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

chsh_isa_circuit = pm.run(chsh_circuit)
chsh_isa_circuit.draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

ISA-Observable

Ebenso müend mer d'Observable transformiere, zum si backend-kompatibel z'mache, bevor mer Jobs mit Runtime Estimator V2 usfüehred. Mer chönd d'Transformation mit de apply_layout-Methode vom SparsePauliOp-Objäkt durchfüehre.

isa_observable1 = observable1.apply_layout(layout=chsh_isa_circuit.layout)
isa_observable2 = observable2.apply_layout(layout=chsh_isa_circuit.layout)

Schritt 3: Usfüehre mit Qiskit-Primitiv

Zum s'gsamti Experiment i eim einzige Uuruef vom Estimator uuszfüehre. Mer chönd es Qiskit Runtime Estimator-Primitiv erstelle, zum öisi Erwartungswärt z'berächne. D'EstimatorV2.run()-Methode nimmt es Iterable vo primitive unified blocs (PUBs). Jedes PUB isch es Iterable im Format (circuit, observables, parameter_values: Optional, precision: Optional).

# To run on a local simulator:
# Use the StatevectorEstimator from qiskit.primitives instead.

estimator = Estimator(mode=backend)

pub = (
    chsh_isa_circuit,  # ISA circuit
    [[isa_observable1], [isa_observable2]],  # ISA Observables
    individual_phases,  # Parameter values
)

job_result = estimator.run(pubs=[pub]).result()

Schritt 4: Nachberarbeitig und Rückgab vom Resultat im gwünschte klassische Format

De Estimator git Erwartungswärt für beidi Observable zrügg, $\langle ZZ \rangle - \langle ZX \rangle + \langle XZ \rangle + \langle XX \rangle$ und $\langle ZZ \rangle + \langle ZX \rangle - \langle XZ \rangle + \langle XX \rangle$.

chsh1_est = job_result[0].data.evs[0]
chsh2_est = job_result[0].data.evs[1]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

# results from hardware
ax.plot(phases / np.pi, chsh1_est, "o-", label="CHSH1", zorder=3)
ax.plot(phases / np.pi, chsh2_est, "o-", label="CHSH2", zorder=3)

# classical bound +-2
ax.axhline(y=2, color="0.9", linestyle="--")
ax.axhline(y=-2, color="0.9", linestyle="--")

# quantum bound, +-2√2
ax.axhline(y=np.sqrt(2) * 2, color="0.9", linestyle="-.")
ax.axhline(y=-np.sqrt(2) * 2, color="0.9", linestyle="-.")
ax.fill_between(phases / np.pi, 2, 2 * np.sqrt(2), color="0.6", alpha=0.7)
ax.fill_between(phases / np.pi, -2, -2 * np.sqrt(2), color="0.6", alpha=0.7)

# set x tick labels to the unit of pi
ax.xaxis.set_major_formatter(tck.FormatStrFormatter("%g $\\pi$"))
ax.xaxis.set_major_locator(tck.MultipleLocator(base=0.5))

# set labels, and legend
plt.xlabel("Theta")
plt.ylabel("CHSH witness")
plt.legend()
plt.show()

I de Abbildig gränzed d'Liniie und grau Beriich d'Gränze ab; d'üsserste (strich-punktierte) Liniie begränzed d'Quantegränze ($\pm 2$), während d'innere (gstrichleti) Liniie d'klassische Gränze ($\pm 2\sqrt{2}$) begränzed. Dir chönnt gseh, dass es Beriich git, wo d'CHSH-Züügegrössi d'klassische Gränze überschryytet. Härzliche Glückwunsch! Dir händ erfolgriich d'Verletzig vo de CHSH-Ungliichig i eme echte Quantesystem demonstriert!

Tutorial-Umfraag

Bitte nämed a dere churze Umfraag teil, zum Feedback zu däm Tutorial z'gää. Eui Iiblick hälfed öis, öisi Inhaltsaagebot und Benutzererfahrig z'verbessere.

Link zur Umfraag